אם A הוא מטריצה m × n, אז ל-ATA ול-AAT יש אותם ערכים עצמיים שאינם אפס … לכן Ax הוא וקטור עצמי של AAT המתאים לערך העצמי λ. ניתן להשתמש בטיעון אנלוגי כדי להראות שכל ערך עצמי שאינו אפס של AAT הוא ערך עצמי של ATA, ובכך להשלים את ההוכחה.
האם הערכים העצמיים של AAT ו-ATA זהים?
למטריצות AAT ו-ATA יש אותם ערכים עצמיים שאינם אפס. סעיף 6.5 הראה שהווקטורים העצמיים של מטריצות סימטריות אלו הם אורתוגונליים.
האם ATA זהה ל-AAT?
מכיוון ש-AAT ו-ATA הם סימטריים אמיתיים, ניתן לאלכסן אותם באמצעות מטריצות אורתוגונליות. זה נובע מהמשפט הקודם (מאחר שהריבוי הגיאומטרי והאלגברי חופפים) של-AAT ו-ATA יש אותם ערכים עצמיים.
האם ל-ATA יש ערכים עצמיים ברורים?
נכון. לדוגמה, אם A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , אז למשוואה האופיינית det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 אין שורש חוזר. מכאן ש כל הערכים העצמיים של A הם ברורים ו-A ניתן לאלכסון. 3.35 עבור כל מטריצה אמיתית A, AtA תמיד ניתן באלכסון.
האם לוקטורים עצמיים שונים יכולים להיות אותו ערך עצמי?
שני וקטורים עצמיים נפרדים התואמים לאותו Eigenvalue תמיד תלויים לינארית. שני וקטורים נפרדים המתאימים לאותו ערך עצמי תלויים תמיד באופן ליניארי.
