משפט: עבור מטריצה מרובעת בסדר n, הדברים הבאים שווים: A הוא הפיך. אפסיות של A היא 0. … ל- מערכת Ax=0 יש רק את הפתרון הטריוויאלי.
מהי האפסיות המינימלית של מטריצה?
לשימוש בעובדה שהדירוג המקסימלי הוא min{m, n}, נוכל להסיק שהבטלות המינימלית היא n−min{m, n}=n+max{−m, − n}=max{n−m, 0}. במילים אחרות, אם n≤m, אזי האפסיות המינימלית היא 0, אחרת אם n>m, אז האפסיות המינימלית היא n−m.
האם הממד של הרווח האפס יכול להיות 0?
כן, dim(Nul(A)) הוא 0. זה אומר שהרווח nullspace הוא רק הווקטור האפס. הרווח האפס יכיל תמיד את וקטור האפס, אבל יכול להיות גם וקטורים אחרים.
האם הרווח האפס יכול להיות ריק?
מכיוון ש-T פועל על מרחב וקטור V, אז V חייב לכלול 0, ומכיוון שהראינו שרווח האפס הוא תת-מרחב, אז 0 הוא תמיד במרחב האפס של מפה ליניארית, ולכן ה- nullspace של מפה ליניארית לעולם לא יכול להיות ריק מכיוון שהוא חייב תמיד לכלול לפחות אלמנט אחד, כלומר 0.
האם למטריצה יש דירוג של 0?
אז אם למטריצה אין ערכים (כלומר מטריצת האפס) אין לה שורות או עמודות תלויות לינאריות, ולכן יש לה דרגה אפס. אם למטריצה יש אפילו רק ערך 1, אז יש לנו שורה ועמודה בלתי תלויים באופן ליניארי, והדירוג הוא לפיכך 1, אז לסיכום, המטריצה היחידה של הדרגה 0 היא מטריצת האפס
