באופן לא רשמי, קבוצה היא מחזורית אם היא נוצרת על ידי אלמנט בודד. זה אבלי אם הכפל מתנייד. קבוצה היא מחזורית אם ניתן ליצור אותה על ידי אלמנט בודד.
האם קבוצה אבלית היא מחזורית?
כל הקבוצות המחזוריות הן אבליות, אבל קבוצה אבלית היא לא בהכרח מחזורית. כל תת הקבוצות של קבוצת אבלים הן נורמליות. בקבוצה אבלית, כל אלמנט נמצא במעמד צימוד בפני עצמו, וטבלת התווים כוללת כוחות של אלמנט בודד המכונה מחולל קבוצה.
איך מוכיחים שקבוצה אבלית היא מחזורית?
הוכחה
- תנו ל-G להיות קבוצה מחזורית עם מחולל g∈G. כלומר, יש לנו G=⟨g⟩ (כל אלמנט ב-G הוא חזקה כלשהי של g.)
- תנו ל-a ו-b להיות אלמנטים שרירותיים ב-G. אז יש n, m∈Z כך ש-a=gn ו-b=gm.
- מכאן אנו מקבלים ab=ba עבור a שרירותי, b∈G. לפיכך G היא קבוצה אבלית.
איך יודעים אם קבוצה היא מחזורית?
4 תשובות. קבוצה סופית היא מחזורית אם, ו- רק אם, יש לה בדיוק תת-קבוצה אחת של כל מחלק בסדרה. אז אם אתה מוצא שתי תת-קבוצות באותו סדר, אז הקבוצה אינה מחזורית, וזה יכול לעזור לפעמים.
מהי קבוצה מחזורית להסביר עם דוגמה?
לדוגמה, (Z/6Z)×={1, 5} , ומכיוון ש-6 הוא פעמיים ראשוני אי זוגי, זה היא קבוצה מחזורית. … כאשר (Z/nZ)× הוא מחזורי, המחוללים שלו נקראים שורשים פרימיטיביים modulo n. עבור מספר ראשוני p, הקבוצה (Z/pZ)× היא תמיד מחזורית, המורכבת מהאלמנטים שאינם אפס של שדה הסדר הסופי p.
