משפט 1 כל רצף Cauchy של מספרים ממשיים מתכנס לגבול.
איך מוצאים את הגבול של רצף Cauchy?
הוכח: הגבול של רצף Cauchy an=limn→∞an.
האם כל רצף Cauchy מתכנס?
כל רצף Cauchy אמיתי מתכנס. משפט.
האם לכל הרצפים המתכנסים יש מגבלה?
לכן עבור כל הרצפים המתכנסים המגבלה היא ייחודית. סימון נניח ש-{an}n∈N מתכנס. אז לפי משפט 3.1 המגבלה היא ייחודית ולכן נוכל לכתוב אותה בתור l, למשל.
האם רצף יכול להתכנס לשני מגבלות שונות?
זה אומר ש-L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, ומכאן לרצף לא יהיו שני מגבלות שונות. עבור ϵ זה, מכיוון ש-an מתכנס ל-L1, יש לנו אינדקס N1 כך ש-|an −L1| N1. במקביל, an מתכנס ל-L2, ולכן יש אינדקס N2 כך ש-|an −L2| N2.
