אם הפונקציות fi תלויות לינארית, אז כך גם העמודות של הוורונסקיאן מכיוון שההבחנה היא פעולה ליניארית, אז ורנסקיאן נעלם. לפיכך, ניתן להשתמש ב-Wronskian כדי להראות שקבוצה של פונקציות הניתנות להבדלה היא בלתי תלויה ליניארית במרווח על ידי כך שהיא מראה שהיא לא נעלמת באופן זהה.
למה הכוונה ב-Wronskian?
: קובע מתמטי שהשורה הראשונה שלו מורכבת מ-n פונקציות של x והשורות הבאות שלו מורכבות מהנגזרות העוקבות של אותן פונקציות ביחס ל-x.
מה קורה כשה-Wronskian הוא 0?
אם f ו-g הן שתי פונקציות הניתנות להבדלה שה-Wronskian שלהן אינו אפס בכל נקודה, אז הן בלתי תלויות ליניאריות.… אם f ו-g הם שניהם פתרונות למשוואה y + ay + by=0 עבור חלק מה-a ו-b, ואם ה-Wronskian הוא אפס בכל נקודה בדומיין, אז הוא אפס בכל מקוםו-f ו-g תלויים.
איך משתמשים ב-Wronskian כדי להוכיח עצמאות לינארית?
תנו ל-f ו-g להיות ניתנים להבדלה ב-[a, b]. אם Wronskian W(f, g)(t0) אינו אפס עבור כמה t0 ב-[a, b] אז f ו-g אינם תלויים באופן ליניארי ב-[a, b]. אם f ו-g תלויים ליניארית אז הוורונסקיאן הוא אפס עבור כל ה-t ב-[a, b].
איך יודעים אם שתי משוואות אינן תלויות באופן ליניארי?
הגדרה נוספת: שתי פונקציות y 1 ו-y 2 אמורות להיות בלתי תלויות לינארית if אף אחת מהפונקציות הוא כפולה קבועה של השני לדוגמה, הפונקציות y 1=x 3 ו-y 2 =5 x 3 אינם עצמאיים ליניארית (הם תלויים ליניארית), מכיוון ש-y 2 הוא בבירור כפולה קבועה של y 1
