דוגמה: הטבעת Z של מספרים שלמים גאוסים היא מודול Z שנוצר באופן סופי, ו- Z הוא Noetherian. לפי המשפט הקודם, Z היא טבעת נואתרית. משפט: טבעות של שברים של טבעות נואתריות הן נואתריות.
האם Z X היא טבעת נואתרית?
הטבעת Z[X, 1 /X] היא Noetherian מכיוון שהיא איזומורפית ל-Z[X, Y]/(XY − 1).
למה Z Noetherian?
אבל יש רק הרבה אידיאלים ב-Z המכילים את I1 מכיוון שהם תואמים לאידיאלים של הטבעת הסופית Z/(a) לפי Lemma 1.21. מכאן ש- השרשרת לא יכולה להיות ארוכה עד אינסוף, ולפיכך Z היא נואתרית.
מהו דומיין Noetherian?
כל טבעת אידיאלית עיקרית, כגון המספרים השלמים, היא Noetherian מאחר שכל אידיאל נוצר על ידי אלמנט בודדזה כולל תחומים אידיאליים עיקריים ותחומים אוקלידיים. תחום Dedekind (לדוגמה, טבעות של מספרים שלמים) הוא תחום נואתרי שבו כל אידיאל נוצר על ידי שני אלמנטים לכל היותר.
איך מוכיחים שטבעת היא נואתרית?
משפט טבעת R היא נואתרית אם ורק אם כל קבוצה לא ריקה של אידיאלים של R מכילה אלמנט מקסימלי הוכחה ⇐=תן I1 ⊆ I2 ⊆··· להיות שרשרת עולה של אידיאלים של ר. שימו S={I1, I2, …}. אם כל קבוצה לא ריקה של אידיאלים מכילה אלמנט מקסימלי אז S מכיל אלמנט מקסימלי, נגיד IN.
