במתמטיקה, תת-קבוצה של מרחב טופולוגי נקראת שום מקום צפוף או נדיר אם לסגירתו יש פנים ריק. במובן רופף מאוד, מדובר בסט שמרכיביו אינם מקובצים בחוזקה בשום מקום. לדוגמה, המספרים השלמים אינם צפופים בשום מקום בין הריאליים, בעוד שכדור פתוח אינו.
איך מוכיחים שסט אינו צפוף בשום מקום?
תת-קבוצה A ⊆ X נקראת בשום מקום צפוף ב- X אם החלק הפנימי של הסגירה של A ריק, כלומר (A)◦=∅. אחרת, A אינו צפוף בשום מקום אם הוא כלול בסט סגור עם פנים ריק. מעבר להשלמות, נוכל לומר באופן שווה ש-A אינו צפוף בשום מקום אם המשלים שלו מכיל קבוצה פתוחה צפופה (למה?).
מה נמצא בכל מקום צפוף?
תת-קבוצה A של מרחב טופולוגי X צפופה שעבורה הסגירה היא המרחב X כולו (יש מחברים המשתמשים בטרמינולוגיה בכל מקום צפוף). הגדרה חלופית נפוצה היא: קבוצה A שחותכת כל תת-קבוצה פתוחה לא ריקה של X.
האם 1 N בשום מקום צפוף?
דוגמה לקבוצה שאינה סגורה אך עדיין לא צפופה בשום מקום היא {1n|
∈N}. יש לו נקודת גבול אחת שאינה בקבוצה (כלומר 0), אבל הסגירה שלו עדיין לא צפופה בשום מקום, כי אין מרווחים פתוחים שמתאימים ל-{1n|n∈N}∪{0}.
מה זה אומר אם קבוצה צפופה?
בטופולוגיה ובתחומים קשורים של מתמטיקה, תת-קבוצה A של מרחב טופולוגי X נקראת צפופה (ב-X) אם כל נקודה x ב-X שייכת ל-A או שהיא נקודת גבול של A; כלומר, הסגירה של A מהווה את כל הסט X.
