roots, כך שהקבוצה של כל השורשים האפשריים של כל הפולינומים עם מקדמים שלמים היא איחוד ניתן לספירה של קבוצות סופיות, ומכאן שניתן לספור לכל היותר. ברור שהקבוצה אינה סופית, אז קבוצת כל המספרים האלגבריים ניתנים לספירה.
האם מספרים אלגבריים הם אינסופיים?
לדוגמה, השדה של כל המספרים האלגבריים הוא הרחבה אלגברית אינסופית של המספרים הרציונליים … Q[π] ו-Q[e] הם שדות אבל π ו-e הם שדות טרנסצנדנטלית מעל Q. לשדה סגור אלגברית F אין שלוחות אלגבריות תקינות, כלומר אין שלוחות אלגבריות E עם F < E.
האם מספרי אלגברה ניתנים לספירה?
כל המספרים השלמים והמספרים הרציונליים הם אלגבריים, כמו כל השורשים של מספרים שלמים…. קבוצת המספרים המרוכבים אינה ניתנת לספירה, אבל קבוצת המספרים האלגבריים ניתנת לספירה ויש לה מידה אפס במדד לבגס כתת-קבוצה של המספרים המרוכבים. במובן זה, כמעט כל המספרים המרוכבים הם טרנסצנדנטליים.
מה נחשב לאין סופי?
סט הוא אינסופי אם ניתן לשים את הרכיבים שלו בהתכתבות אחד לאחד עם קבוצת המספרים הטבעיים במילים אחרות, אפשר לספור את כל האלמנטים ב הסט בצורה כזו שלמרות שהספירה תימשך לנצח, תגיע לכל אלמנט מסוים בפרק זמן מוגבל.
האם כל המספרים האלגבריים ניתנים לבנייה?
לא כל המספרים האלגבריים ניתנים לבנייה לדוגמה, השורשים של משוואת פולינום פשוטה מדרגה שלישית x³ - 2=0 אינם ניתנים לבנייה. (הוכח על ידי גאוס שכדי להיות ניתן לבנייה, מספר אלגברי צריך להיות שורש של פולינום שלם של מעלות שהוא חזקת 2 ולא פחות.)
